Énoncé :

Le 17 Februarius de l’an 54 av. JC, après avoir traversé l’atrium et le peristylum du palais, Brutus attendait dans le vestibulum du tablinum de Jules César pour préparer les combats de la semaine suivante : on était alors en pleine guerre des Gaules.

Cette semaine devait être menées deux batailles contre les Belges et une contre les Germains, et pour la première fois le commandement de l’une d’elles allait être confié au jeune Brutus.

L’imperator accueillit son fils et lui présenta la carte d’Europe, sur laquelle trois points figuraient les trois villes à conquérir.

– Mon fils, commença-t-il, je suis heureux que tu aies accepté de montrer enfin un peu de bravoure et de prendre le commandement d’une armée, et pour te prouver ma fierté de père, je te laisserai choisir le premier quelle ville tu voudras attaquer.

C’était pour Brutus un problème épineux : comme le disait son père, horum omnium fortissimi sunt Belgae – de ceux-là les plus braves sont les Belges. Assez lâche de nature, il voulait à tout prix éviter de leur faire face ; mais ayant toujours été très mauvais en géographie, il ne savait laquelle des trois villes était celle des Germains. Puisqu’il ne pouvait raisonnablement admettre devant le sévère imperator qu’il ne maîtrisait toujours pas ces éléments basiques qu’enseignent les praeceptorum, il devait choisir au hasard, en espérant tomber sur la ville des Germains.

Le jeune homme avança donc une main incertaine en indiquant une des trois villes – appelons-la A.

– Très bien, dit César en montrant un autre point sur la carte – disons la ville B -, je prendrai donc celle-ci.

Puisque ce brave parmi les braves aurait refusé  de combattre contre un adversaire médiocre, Brutus savait que de toute façon il aurait choisit une ville belge.

Il restait donc sur la carte la dernière ville, qui devait être confiée à un autre général – ce sera la ville C.

– Mon fils, tu me sembles hésiter. Cesse de faire l’infans et réponds-moi : souhaites-tu changer ton choix ?

Brutus a-t-il intérêt à choisir plutôt la ville C pour éviter de tomber sur les Belges ?

 

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Réponse :

 

Brutus a intérêt à changer son choix pour la ville C.

Pour s’en convaincre, imaginons avant de détailler la solution du problème qu’au lieu de trois villes sur la carte, il y en ait cent, toutes belges sauf une : la ville germanique. Brutus désigne d’abord une ville au hasard ; il est peu probable qu’il tombe du premier coup sur celle germanique. Parmi les quatre-vingt-dix-neuf villes restantes, César en dévoile ensuite quatre-vingt-dix-huit comme étant belges, et en laisse une de côté. Il propose alors à Brutus de changer de choix : il semble clair que celui-ci a intérêt à choisir la ville non dévoilée par César, plutôt que celle qu’il avait initialement désignée, puisque dans l’éventualité où son premier choix aurait porté sur une ville Belge – ce qui est très probable -, changer de ville lui permettrait de tomber sur celle des Germains.

 

Il en est de même dans le problème initial à trois villes : le fait que César dévoile la ville belge parmi celles restantes rend plus probable que celle non choisie soit germanique.

 

Pour comprendre précisément en quoi Brutus a intérêt à changer son choix, il suffit d’examiner les deux issues possibles : si la première ville choisie se trouve être belge, ce qui a deux chances sur trois de se produire, alors en montrant que B est l’autre ville Belge, César dévoile que C est aux Germains. A l’inverse, Brutus a une chance sur trois de trouver du premier coup la ville germanique. Bien que dans ce cas changer de choix pour la ville C l’enverrait face aux Belges, cet événement est moins probable que le premier. Finalement, Brutus a deux chances sur trois de tomber sur la ville germanique s’il change d’avis.

 

L’autre stratégie, garder son choix initial, est moins avantageuse : Brutus a une chance sur trois de découvrir du premier coup la ville des Germains, et la révélation de César ne modifie pas cette probabilité. S’il ne change pas son choix après la proposition de César, il a toujours une chance sur trois d’avoir désigné la bonne ville.

 

Ce problème est intéressant car sa solution est assez contre-intuitive, et la plupart du temps on imagine d’abord que changer de choix ne sert à rien. Il semble que puisqu’il reste deux villes, dont une est belge, on a une chance sur deux de trouver la ville des Germains quel que soit notre choix.

 

Ce raisonnement s’appuie sur l’idée que l’indication de César ne porte que sur la ville B,

et que l’expérience est remise à zéro après son choix, mais avec deux villes seulement. Après le dévoilement d’une ville belge par César, la probabilité que le choix initial de Brutus soit la ville germanique passe de 1 sur 3 à 1 sur 2. Cependant ce raisonnement est erroné : quoi qu’il arrive, César indiquera une ville belge après le premier choix de Brutus, cet événement ne permet pas d’avoir d’informations sur notre choix initial, et n’affecte pas la probabilité que le premier choix soit le bon, qui reste donc une chance sur trois.

 

On peut alors proposer une variante intéressante du problème : supposons que César ne soit pas meilleur que Brutus en géographie, et choisisse lui-aussi une ville au hasard, et supposons que la ville choisie – au hasard donc – par César se révèle cette fois encore être belge. Brutus a-t-il intérêt à changer son choix ?

 

Il se trouve que dans ce cas, changer de choix est inutile, ce qui peut paraître assez surprenant puisque ce problème semble relativement similaire au précédent ;

imaginons que Brutus choisisse d’abord une ville quelconque, puis que parmi les deux restantes, César en sélectionne une aléatoirement, et que celle-ci se révèle être belge. Cela revient à considérer que César a choisi au hasard la ville dont on ne dévoilerait pas la nationalité ; puisque Brutus aussi a désigné sa ville aléatoirement, il n’y a pas de raison qu’une des deux villes restantes ait plus de chance d’être germanique : ni César ni Brutus n’ont d’informations particulières lorsqu’ils choisissent leur ville.
Comme certains de nos admirables lecteurs l’auront remarqué, ce problème est une adaptation du célèbre jeu de Monty Hall, qui fut énoncé en 1975 par Steve Selvin, et dont la popularité tient au fait qu’il recueille presque systématiquement une réponse erronée : selon un sondage de Granberg et Brown, seulement 13% des sujets interrogés changent leur choix lorsqu’on le leur propose. Une étude menée par Hebranson et Schroeder indique d’autre part que des pigeons soumis à une adaptation du même problème découvrent la stratégie correcte bien plus rapidement que les humains. Nous ne savons quoi en penser, et peut-être vaudrait-il mieux clore ici cet article.