En utilisant l’ombre laissée par le Soleil, Eratosthène calcula au IIIème siècle avant J-C la circonférence de la Terre avec une précision remarquable. Cela faisait déjà quelques trois cents ans avec l’école Pythagoricienne que sa rotondité ne faisait pas de doutes dans le monde grec, notamment par des arguments de perfection géométrique et d’harmonie. Pourtant, nous utilisons des cartes planes pour nous repérer, et notre expérience immédiate nous fait percevoir la Terre comme plate. D’ailleurs, et sauf pour les grandes distances, il est tout à fait légitime de la penser comme telle. Un GPS représente les environs par un morceau de plan centré sur notre position, et par des paramètres Nord/Sud-Ouest/Est pour se déplacer. Autour de chaque endroit sur terre, on peut dessiner une carte représentant les environs. En faisant en sorte qu’elles soient compatibles là où elles se chevauchent, on pourrait les coller les unes aux autres pour recouvrir un globe et on obtiendrait un résultat relativement proche de la terre.

Toute la géométrie est construite sur cette idée : on fait correspondre des « petits » morceaux de l’objet que l’on considère avec des « petits » morceaux d’espaces que l’on connaît bien, comme des plans ou des droites. On dit alors qu’on dispose de systèmes de coordonnées locales pour notre objet. On dit que les coordonnées sont locales car on souligne le fait que les cartes planes ne sont valables que localement. Par exemple, le chemin le plus court sur Terre entre deux villes n’est pas forcément représenté par une ligne droite sur un planisphère. Pour la terre, on a besoin de deux coordonnées pour identifier chaque lieu, donc on dira que la Terre est une variété de dimension deux : une surface.

Pour résumer, on peut étudier un objet en le décrivant par un système de coordonnées locales, de telle sorte que les cartes soient compatibles entre elles.

Supposons maintenant que nous soyons des bestioles astreintes à se déplacer selon les axes devant/derrière et gauche/droite, c’est-à-dire incapables de creuser des puits de pétrole ou de monter observer les étoiles à partir du grenier. Supposons que l’on soit même incapable de concevoir un espace en trois dimensions. Le système de cartes que nous avons construit resterait valable : on pourrait toujours localement identifier le nord et l’ouest. Nous n’avons donc pas besoin de savoir que la Terre évolue dans un univers en trois dimensions pour pouvoir la représenter. C’est là un fait anodin, mais le développement mathématique de cette idée date du XVIIIème siècle, ce qui est très récent au vu de l’âge de la géométrie. C’est notamment pendant cette période que Gauss et d’autres mathématiciens formalisent ce qu’on appelle la géométrie intrinsèque. Au lieu de décrire les objets en les faisant appartenir à des espaces ambiants, on étudie leurs propriétés et leurs caractéristiques propres et intrinsèques.

Pendant ses six mois sur l’ISS, Thomas Pesquet nous a abreuvé de photos illustrant la rotondité de la Terre. Mais en réalité, on n’avait pas besoin de s’en éloigner pour le savoir. Gauss démontra en effet qu’il n’est pas nécessaire d’utiliser un point de vue extérieur pour le savoir. Pour le dire de manière formelle, la courbure d’une surface est une propriété intrinsèque. Il s’agit là de l’un des plus beaux théorèmes de géométrie : Gauss lui-même le nomma theorema egregium (théorème remarquable).

On peut notamment visualiser cette courbure en plantant un arbre quelque part sur l’équateur, un autre à peu près 10 000 km plus loin toujours sur l’équateur et un troisième au pôle nord. Si on traçait les courbes qui joignent ces trois arbres, on obtiendrait un triangle à trois angles droits, ce qui serait impossible si la terre était plate. Cette déformation montre que l’on se trouve sur un espace courbé, et on pourrait même évaluer cette courbure. Autrement dit, si les profondeurs de la Terre et le ciel n’existaient pas (ce qui serait le cas si nous étions les bestioles dont nous avons parlé), nous n’en resterions pas moins sur un espace doté d’une courbure.

On n’exposera pas tous les avantages de cette approche, mais l’idée fondamentale concernant la géométrie intrinsèque est assez simple : pour étudier les propriétés propres d’un objet, il faut éviter les biais liés à nos représentations. On travaille sur ce qui constitue réellement cet objet, et sur ses propriétés essentielles telles que sa courbure, ou la manière dont il déforme les distances, et ce indépendamment de son environnement. Cette abstraction supplémentaire permet notamment de classifier des objets selon certaines caractéristiques invariantes.

C’est notamment avec les outils que l’on a évoqués que l’on peut faire de la cosmologie, c’est-à-dire étudier l’univers en tant que système. Par définition, celui-ci représente l’ensemble limite de ce qui nous est accessible, et on ne peut donc l’observer d’un point de vue extérieur. L’idée même d’un extérieur n’a pas vraiment de sens physique. Néanmoins, il y a 2300 ans, Eratosthène a pu évaluer la courbure de la Terre avec l’aide seule de chameaux, d’un crayon et d’une bonne idée. Face à l’univers, qui apparaît si démesurément grand, nous devons adopter l’attitude d’Eratosthène. Modestement alors, on peut tenter d’en éclairer la structure et l’histoire.